如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=8$,$BC=12$,点$B$在直线$m$上,点$M$是直线$m$上点$B$左边的一点,且$BM=4$,$\angle ABM=60^{\circ}$.动点$P$从点$A$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿折线$AB-BC$向终点$C$匀速运动；同时动点$Q$从$C$点出发,以每秒$6$个单位长度的速度沿折线沿$CB-BA$向终点$A$匀速运动.两点到达相应的终点就分别停止运动,分别过点$P$、点$Q$作$PD\bot m$于$D$,$QE\bot m$于$E$.设点$P$的运动时间为$t\left(s\right)\left(t \gt 0\right)$.
$(1)$用含$t$的代数式表示$BP$的长.
$(2)$当点$Q$在边$BC$上时,求证:$\angle PBD=\angle BQE$.
$(3)$连结$PM$、$QM$,在不添加辅助线和连结其它线段的条件下,当图中存在等边三角形时,直接写出$t$值.
$(4)$当$\triangle PBD$与$\triangle BQE$全等时,直接写出$t$的值.