已知:如图,$\angle AOB$.
求作:射线$OC$,使$\angle AOC=3\angle AOB$,且点$C$在直线$OA$的下方.
作法:①在射线$OA$上取一点$P$,过点$P$作射线$OA$的垂线,与射线$OB$相交于点$M$；
②在$MP$的延长线上取一点$N$,使$PN=PM$；
③以点$O$为圆心,$OM$长为半径画弧,再以点$M$为圆心,$MN$长为半径画弧,两弧在直线$OA$下方相交于点$C$；
④作射线$OC$.
所以射线$OC$即为所求作的射线.
$(1)$使用直尺和圆规,依作法补全图形（保留作图痕迹）；
$(2)$完成下面的证明.
证明:连接$ON$,$CM$.
$\because PM\bot OA$,$PN=PM$,
$\therefore ON=OM.( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$
$\therefore \angle \_\_\_\_\_\_=2\angle POM.$
$\because OC=OM$,
$\therefore OC=ON$.
在$\triangle OCM$和$\triangle ONM$中,
$\left\{\begin{array}{l}{OC=ON}\\{OM=OM}\\{()=()}\end{array}\right.$,
$\therefore \triangle OCM$≌$\triangle ONM.\left( \_\_\_\_\_\_\right)(填推理的依据)$
$\therefore \angle \_\_\_\_\_\_=\angle NOM.$
$\therefore \angle AOC=\angle POM+\angle COM=3\angle POM$,
即$\angle AOC=3\angle AOB$.