数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美结合.通过研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如:数轴上点$A$和点$B$表示的数为$a$,$b$,则$A$,$B$两点之间的距离$AB=|a-b|$,若$a \gt b$,则可化简为$AB=a-b$.若点$P$为数轴上一动点,点$P$对应的数记为$a$,请你利用数轴解决以下问题:

$(1)$若点$P$与表示有理数$-2$的点的距离是$3$个单位长度,则$a$的值为______；
$(2)$若数轴上点$P$位于表示$-5$的点与表示$2$的点之间,则$|a-2|+|a+5|=$______；
$(3)$若数轴上比$a$小$2$的数用$b$表示,比$a$大$5$的数用$c$表示,则$|b-2|+|c+5|$的最小值为______；
$(4)$若$a_{1}=a$,$a_{2}=\frac{1}{2}a$,$a_{3}=\frac{1}{3}a$,$\ldots$,$a_{9}=\frac{1}{9}a$.则式子$|a_{1}-1|+2|a_{2}+2|+3|a_{3}-3|+\ldots +9|a_{9}-9|$的最小值为______.