$AB$∥$CD$,$\angle BAD$,$\angle ADC$的平分线$AE$,$DE$相交于点$E$.
$(1)$如图$1$,$\angle E=$______；
$(2)$如图$2$,过点$E$作直线$AB$,$AD$,$DC$的垂线,垂足分别为$F$,$G$,$H$,证明:$EF=EG=EH$；
$(3)$如图$3$,过点$E$的直线与$AB$,$DC$分别相交于点$B$,$C(B$,$C$在$AD$的同侧）求证:$E$为线段$BC$的中点.