在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$BC=8$,点$M$从点$B$出发沿射线$BA$移动,同时点$N$从点$C$出发沿线段$AC$的延长线移动,点$M$,$N$移动的速度相同,$MN$与$BC$相交于点$D$.

$(1)$如图$1$,过点$M$作$ME$∥$AC$,交$BC$于点$E$；
①图中与$BM$相等的线段有______、______；
②求证:$\triangle DME$≌$\triangle DNC$；
$(2)$如图$2$,若$\angle A=60^{\circ}$,当点$M$移动到$AB$的中点时,求$CD$的长度；
$(3)$如图$3$,过点$M$作$MF\bot BC$于点$F$,在点$M$从点$B$向点$A($点$M$不与点$A$,$B$重合）移动的过程中,线段$BF$与$CD$的和是否保持不变?若保持不变,请直接写出$BF$与$CD$的长度和；若改变,请说明理由.