已知关于$x$的二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象过点$\left(-1,0\right)$,$\left(3,0\right)$.
$(1)$求这个二次函数的解析式；
$(2)$求当$-2\leqslant x\leqslant 2$时,$y$的最大值与最小值的差；
$(3)$若点$P(-3$,$y_{1})$,$Q(q$,$y_{2})$在该二次函数的图象上,且$y_{1} \lt y_{2}$,请直接写出$q$的取值范围.