小明在学习了圆内接四边形的性质"圆内接四边形的对角互补"后,想探究它的逆命题"对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上"是否成立.他先根据命题画出图形,并用符号表示已知,求证.
已知:如图,在四边形$ABCD$中,$\angle B+\angle ADC=180^{\circ}$.
求证:点$A$,$B$,$C$,$D$在同一个圆上.
他的基本思路是依据"不在同一直线上的三个点确定一个圆",先作出一个过三个顶点$A$,$B$,$C$的$\odot O$,再证明第四个顶点$D$也在$\odot O$上.
具体过程如下:
步骤一利用直尺与圆规,作出过$A$,$B$,$C$三点的$\odot O$,并保留作图痕迹.
步骤二用反证法证明点$D$也在$\odot O$上.
假设点$D$不在$\odot O$上,则点$D$在$\odot O$内或$\odot O$外.
$(i)$如图$2$,假设点$D$在$\odot O$内.
延长$CD$交$\odot O$于点$D_{1}$,连接$AD_{1}$,
$\therefore \angle B+\angle D_{1}=180^{\circ}($①$).(填推理依据)$
$\because \angle ADC$是$\triangle ADD_{1}$的外角,
$\therefore \angle ADC=\angle DAD_{1}+\angle D_{1}$.
$\therefore \angle ADC \gt \angle D_{1}$,
$\therefore \angle B+\angle ADC \gt 180^{\circ}$.
这与已知条件$\angle B+\angle ADC=180^{\circ}$矛盾.
$\therefore$假设不成立,即点$D$不在$\odot O$内.
$(ii)$如图$3$,假设点$D$在$\odot O$外.
设$CD$与$\odot O$交于点$D_{2}$,连接$AD_{2}$,
$\therefore$②$+\angle AD_{2}C=180^{\circ}$.
$\because \angle AD_{2}C$是$\triangle AD_{2}D$的外角,
$\therefore \angle AD_{2}C=\angle DAD_{2}+$③.
$\therefore$④$\lt \angle AD_{2}C$.
$\therefore$⑤$+\angle ADC \lt 180^{\circ}$
这与已知条件$\angle B+\angle ADC=180^{\circ}$矛盾.
$\therefore$假设不成立,即点$D$不在$\odot O$外.
综上所述,点$D$在$\odot O$上.
$\therefore$点$A$,$B$,$C$,$D$在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
$(1)$根据步骤一,补全图$1(要求:尺规作图,保留作图痕迹)$；
$(2)$填写推理依据:①______；
$(3)$填空:②______,③______,④______,⑤______.