【阅读材料】
小明同学发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形,小明把具有这种规律的图形称为"手拉手模型".
【材料理解】
$(1)$如图$1$,$\triangle ABC$与$\triangle ADE$都是等腰三角形,$AB=AC$,$AD=AE$,且$\angle BAC=\angle DAE$,则有$\triangle ABD$≌______；线段$BD$和$CE$的数量关系是______；
【深入研究】
$(2)$如图$2$,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是都是等腰三角形,即$AB=AC$,$AD=AE$,且$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$,请判断线段$BD$和$CE$的数量关系和位置关系,并说明理由；
【深化模型】
$(3)$如图$3$,$AB=BC$,$\angle ABC=\angle BDC=60^{\circ}$,求证:$AD+CD=BD$.
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