如图,在$\triangle ABC$中,$BC=5$,高$AD$、$BE$相交于点$O$,$BD=\frac{2}{3}CD$,且$AE=BE$.
$(1)$求线段$AO$的长；
$(2)$动点$P$从点$O$出发,沿线段$OA$以每秒$1$个单位长度的速度向终点$A$运动,动点$Q$从点$B$出发沿射线$BC$以每秒$4$个单位长度的速度运动,$P$、$Q$两点同时出发,当点$P$到达$A$点时,$P$、$Q$两点同时停止运动.设点$P$的运动时间为$t$秒,$\triangle POQ$的面积为$S$,请用含$t$的式子表示$S$,并直接写出相应的$t$的取值范围；
$(3)$在（2）的条件下,点$F$是直线$AC$上的一点且$CF=BO$.是否存在$t$值,使以点$B$、$O$、$P$为顶点的三角形与以点$F$、$C$、$Q$为顶点的三角形全等?若存在,请直接写出符合条件的$t$值；若不存在,请说明理由.