已知在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,过点$B$引一条射线$BM$,$D$是$BM$上一点.
【问题解决】
$(1)$如图$1$,若$\angle ABC=60^{\circ}$,射线$BM$在$\angle ABC$内部,$\angle ADB=60^{\circ}$,求证:$\angle BDC=60^{\circ}$.
小明同学展示的做法是:在$BM$上取一点$E$使得$AE=AD$.通过已知的条件,从而求得$\angle BDC$的度数,请你帮助小明写出证明过程.
【类比探究】
$(2)$如图$2$,已知$\angle ABC=\angle ADB=20^{\circ}$.
①当射线$BM$在$\angle ABC$内,求$\angle BDC$的度数；
②当射线$BM$在$BC$下方,如图$3$所示,请问$\angle BDC$的度数会变化吗?若不变,请说明理由,若改变,请求出$\angle BDC$的度数.