已知点$P(x_{0}$,$y_{0})$到直线$y=kx+b$的距离公式为$d=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$,例如:点$\left(2,5\right)$到直线$y=3x+1$的距离为$\frac{|3×2-5+1|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,请根据该公式解决以下问题:
①若点$A\left(3,2\right)$和点$B\left(-1,4\right)$到直线$y=kx+3\left(k\neq 0\right)$的距离相等,则$k$的值为______；
②$P\left(m,n\right)$在直线$y=3x+2$上,则$m^{2}+n^{2}-2m+4n$的最小值是______.