综合与实践:

【问题情境】已知$OC$是$\angle AOB$的平分线,$P$是射线$OC$上的一点,点$D$,$E$分别在射线$OA$,$OB$上,连接$PD$,$PE$.
【初步探究】（1）如图$1$,当$PD\bot OA$,$PE\bot OB$时,$PD$与$PE$的数量关系是______；
【深入探究】（2）如图$2$,若$\angle PDO+\angle PEO=180^{\circ}$,（1）中$PD$与$PE$的数量关系还成立吗?请说明理由；
【拓展应用】（3）如图$3$,$\triangle ABC$中,$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$,若$\angle ABC=60^{\circ}$,$\angle C=45^{\circ}$,$BD=2$,求$\triangle ABD$的面积.