课本再现:

如图$1$,有一个圆柱,它的高为$12cm$,底面圆的周长为$18cm$.在圆柱下底面的点$A$处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点$A$相对的点$B$处的食物,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
方法探究:
$(1)$对于立体图形中求最短路程问题,应把立体图形展开成平面图形,再确定$A$,$B$两点的位置,依据"两点之间线段最短",结合勾股定理,解决相应的问题.如图$2$,在圆柱的侧面展开图中,点$A$,$B$对应的位置如图所示,利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______$cm.$
方法应用:
$(2)$如图$3$,直四棱柱的上下底面是正方形,底面边长为$3cm$,高为$10cm$.在其侧面从点$A$开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点$B$停止.求彩条的最短长度.
$(3)$如图$4$,圆柱形玻璃杯底面周长为$30cm$,高为$35cm$,杯底厚$1cm$.在玻璃杯外壁距杯口$2cm$的点$A$处有一只蚂蚁,蚂蚁相对面的内壁底部$B$处有一滴蜂蜜,蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜,求蚂蚁爬行的最短路径长.(玻璃杯的壁厚忽略不计）