类比推理是一种推理方法,即根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法.

观察下列计算过程: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$ $=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$ $=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法,即把每项恰当拆分,使得其中部分分数相互抵消,简化计算.

阅读下面一道例题的解答过程: 因式分解:$x^{2}+3x+2$ 解:我们可以将$3x$拆成$x$和$2x$ 即原式$=x^{2}+2x+x+2$ $=x\left(x+2\right)+\left(x+2\right)$ $=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$ 在因式分解中,我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项,其目的是使多项式能进行因式分解,像这样的方法称为拆项法.

请用类比的方法,解决以下问题:
$(1)$①已知$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\ldots$,则依据此规律$\frac{1}{n(n+1)}=$______；
②请你利用拆项法进行因式分解:$x^{2}+5x+6=$______；
$(2)$若$a$,$b$满足$a^{2}-2a+1+|2a-b|=0$,求$\frac{1}{a•b}+\frac{1}{(a+1)•(b+1)}+\frac{1}{(a+2)•(b+2)}+\frac{1}{(a+3)•(b+3)}+⋯+\frac{1}{(a+2021)•(b+2021)}$的值；
$(3)$受此启发,解方程$\frac{1}{{x}^{2}+9x+20}+\frac{1}{{x}^{2}+11x+30}+\frac{1}{{x}^{2}+13x+42}+\frac{1}{{x}^{2}+15x+56}=\frac{4}{{x}^{2}+28}$.