在边长为$4$的正方形$ABCD$中,
$(1)$如图$1$,若点$E$从点$B$向点$C$运动,点$F$从点$C$向点$D$运动,它们运动速度相同,当点$E$运动到点$C$时停止运动,点$F$也随之停止运动.
①求证:$AE\bot BF$；
②当点$E$运动到何处时,$DM=DA$?请加以证明.
$(2)$如图$2$,若点$E$从点$B$向点$C$运动,点$F$从点$D$向点$C$运动,它们运动速度相同,当点$E$达到点$C$时停止运动,点$F$也随之停止运动.在整个运动过程中,$AF$与$DE$的交点为$M$,请求出$AF+DE$的最小值.