如图,在正方形$ABCD$中,$O$为对角线$AC$的中点,$AC=2\sqrt{2}$.动点$P$从点$A$出发,沿折线$AC-CD$运动,在$AC$和$CD$上的速度分别为每秒$\sqrt{2}$个单位长度和每秒$1$个单位长度.当点$P$出发后,过点$P$作$PQ\bot AB$于点$Q$,将线段$PQ$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$PM$,连接$QM$.设点$P$的运动时间为$t\left(s\right)$,$\triangle PQM$与$\triangle ACD$重叠部分图形的面积为$S$.
$(1)$当点$P$在线段$AC$上运动时,用含$t$的代数式表示$OP$的长；
$(2)$当点$O$在$\triangle PQM$的内部时,求$t$的取值范围；
$(3)$求$S$与$t$之间的函数关系式.