已知:四边形$ABCD$是正方形,$AB=20$,点$E$,$F$,$G$,$H$分别在边$AB$,$BC$,$AD$,$DC$上.
$(1)$如图$1$,若$\angle EDF=45^{\circ}$,$AE=CF$,求$\angle DFC$的度数；
$(2)$如图$2$,若$\angle EDF=45^{\circ}$,点$E$,$F$分别是$AB$,$BC$上的动点,求证:$\triangle EBF$的周长是定值；
$(3)$如图$3$,若$GD=BF=5$,$GF$和$EH$交于点$O$,且$\angle EOF=45^{\circ}$,求$EH$的长度.