在正方形$ABCD$中,点$E$在直线$AC$上,过点$E$作$EF\bot ED$交直线$BC$于点$F$,以$DE$、$EF$为边构造矩形$DEFG$.
$(1)$当点$E$在$CA$延长线上时,如图①,求证:矩形$DEFG$是正方形；
$(2)$当点$E$在线段$AC$上时,如图②,试写出线段$CG$、$CE$与$AC$之间的数量关系,并证明；
$(3)$过点$E$做$EN\bot$直线$CD$,垂足为$N$,若$CN=2\sqrt{2}AE=8$,则$CF=\_\_\_\_\_\_.$
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