定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形,简称"直等补"四边形,根据以上定义,解决下列问题:

$(1)$如图$1$,正方形$ABCD$中,$E$是$CD$上的点,将$\triangle BCE$绕$B$点旋转,使$BC$与$BA$重合,此时点$E$的对应点$F$在$DA$的延长线上,四边形$BEDF$是"直等补"四边形吗?请说明理由；
$(2)$如图$2$,已知四边形$ABCD$是"直等补"四边形,$AB=BC=5$,$CD=1$,$AD \gt AB$.点$B$到直线$AD$的距离为$BE$.
①求$BE$的长；
②若$M$、$N$分别是$AB$、$AD$边上的动点,求$\triangle MNC$周长的最小值.