如图在四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD$,$AB=CD$,过点$A$作$AE\bot BC$,垂足为$E$,连接$DB$,$DB$平分$\angle ABC$.
$(1)$求证:四边形$ABCD$是菱形；
$(2)$过点$D$作$DC$的垂线,分别交$AB$,$AE$于点$F$、$G$,若$AG=3$,$AD=4$,求菱形$ABCD$的面积.