嘉淇在作业本上看到一道化简题,但墨水遮住了原式子的一部分$(■+\frac{2}{{a}^{2}-2a+1})÷\frac{a+1}{a-1}$.
$(1)$嘉淇猜被墨水遮住的式子是$\frac{1}{a-1}$,请代入原式化简,然后从$-1$,$0$,$1$中选取一个你喜欢的作为$a$值代入求值；
$(2)$若这道题的答案是$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$,则被墨水遮住的式子是多少?