【基础巩固】
$(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$,$F$分别为$AB$,$AC$,$BC$上的点$,DE$∥$BC$,$BF=CF$,$AF$交$DE$于点$G$,求证:$DG=EG$.
【尝试应用】
$(2)$如图$2$,在（1）的条件下,连结$CD$,$CG$.若$CG\bot DE$,$CD=6$,$AE=3$,求$\frac{DE}{BC}$的值.
【拓展提高】
$(3)$如图$3$,在▱$ABCD$中,$\angle ADC=45^{\circ}$,$AC$与$BD$交于点$O$,$E$为$AO$上一点$,EG$∥$BD$交$AD$于点$G$,$EF\bot EG$交$BC$于点$F$.若$\angle EGF=40^{\circ}$,$FG$平分$\angle EFC$,$FG=10$,求$BF$的长.