如图,点$E$是正方形$ABCD$内部的一动点,连接$DE$,以$DE$为腰在$DE$的右侧作等腰直角三角形$DEF$,连接$EC$,$AF$,$G$为$AF$的中点,连接$DG$,随着点$E$的运动,下列结论正确的是（ ）