如图$1$是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形$\left(a \gt b \gt 0\right)$,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个"回形"正方形（如图$2)$.
$(1)$图$2$中的阴影部分正方形的边长为______；
$(2)$观察图$2$请你写出$\left(a+b\right)^{2}$、$\left(a-b\right)^{2}$、$ab$之间的等量关系是______；
$(3)$根据（2）中的结论,若$x-y=4$,$xy=2.25$,求$x+y$的值.