已知在等腰梯形$ABCD$中$,AD$∥$BC$,$AB=CD=3\sqrt{2}$,$AD=3$,$AC=3\sqrt{5}$,$BC=9$,$P$是对角线$AC$上的一个动点,且$\angle APE=\angle B$,$PE$与射线$AD$、射线$CD$分别交于点$E$、点$G$.
$(1)$如图$1$,当点$E$与点$D$重合时,求$AP$的长；
$(2)$如图$2$,当点$E$在$AD$的延长线上时,设$AP=x$,$DE=y$,求$y$关于$x$的函数解析式,并写出它的定义域；
$(3)$当线段$DG=\sqrt{2}$时,求$AE$的长.