【问题背景】如图$1$,点$B$,$C$,$D$在同一直线上,$\angle B=\angle ACE=\angle D$,易证:$\triangle ABC$∽$\triangle CDE$；
$(1)$在图$1$中,当点$C$为$BD$中点时,求证:$\triangle ABC$∽$\triangle ACE$；
【拓展应用】如图$2$,矩形$ABCD$中,$BC \lt 2AB$,点$M$是$BC$的中点,连接$AM$.将$\triangle ABM$沿着$AM$折叠后得$\triangle APM$,延长$AP$交$CD$于$E$,连接$ME$.
$(2)$求证:$AM^{2}=AB\cdot AE$；
$(3)$若$cos∠DAE=\frac{24}{25}$,$BC=6$,求线段$AB$长.