已知如图$1$,$\angle AOB=40^{\circ}$.

$(1)$若$\angle AOC=\frac{1}{3}\angle BOC$,则$\angle BOC=$______；
$(2)$如图$2$,$\angle AOC=20^{\circ}$,$OM$为$\angle AOB$内部的一条直线,$ON$是$\angle MOC$四等分线,且$3\angle CON=\angle NOM$,求$4\angle AON+\angle COM$的值；
$(3)$如图$3$,$\angle AOC=20^{\circ}$,射线$OM$绕着$O$点从$OB$开始以$5$度$/$秒的速度逆时针旋转一周至$OB$结束,在旋转过程中,设运动的时间为$t$,$ON$是$\angle MOC$四等分线,且$3\angle CON=\angle NOM$,当$t$在某个范围内$4\angle AON+\angle BOM$会为定值,请直接写出定值,并指出对应$t$的范围（本题中的角均为大于$0^{\circ}$且小于$180^{\circ}$的角).