在综合实践课上,数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个"$T$"形尺,并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.
把"$T$"形尺按图$1$摆放,水平宽$AB$的中点为$C$,图象的顶点为$D$,测得$AB$为$m$厘米时,$CD$为$n$厘米.
【猜想】
$(1)$探究小组先对$y=x^{2}$的图象进行多次测量,测得$m$与$n$的部分数据如表:

$m$	$0$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\ldots$
$n$	$0$	$1$	$2.25$	$4$	$6.25$	$9$	$\ldots$

描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图$2$的直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
猜想:$n$与$m$的关系式是______

【验证】
$(2)$探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究,发现测得的$n$与$m$也存在类似的关系式,并针对二次函数$y=a\left(x-h\right)^{2}+k\left(a \gt 0\right)$的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法（在"$\square$"内打"$\surd$"）并补全其推理过程；(根据需要,选用字母$a$,$m$,$n$,$h$,$k$表示答案）

$\square$方法$1$	$\square$方法$2$
如图$3$,平移二次函数图象,使得顶点$D$移到原点$O$的位置,则: ${{{{{A\’}}}}}{{{{{B\’}}}}}=AB=m$,${{{{{C\’}}}}}O=CD=n$, ${{{{{C\’}}}}}B=\frac{{{{{{A\’}}}}}{{{{{B\’}}}}}}{2}=\frac{m}{2}$, 所以点$B$坐标为______； 将点${{{{{B\’}}}}}$坐标代入$y=ax^{2}$, 得到$n$与$m$的关系式是______.	如图$4$,顶点$D$的横坐标加$\frac{m}{2}$个单位,纵坐标加$n$个单位得到点$B$的坐标,所以点$B$坐标为______； 将点$B$坐标代入$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$, 得到$n$与$m$的关系式是______.

【应用】
$(3)$已知$AB$∥$x$轴且$AB=4$,两个二次函数$y=2\left(x-h\right)^{2}+k$和$y=a\left(x-h\right)^{2}+d$的图象都经过$A$,$B$两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为$10$时,求$a$的值.