如图,$PA$是以$AC$为直径的半圆$O$的切线,$B$是半圆$O$上的一点,连接$PB$并延长交$AC$的延长线于点$M$,连接$AB$,$\angle APB=2\angle BAC$.
$(1)$求证:$PB$是半圆$O$的切线；
$(2)$若$AC=6$,$tan∠AMP=\frac{3}{4}$,求$BM$的长.