阅读下面材料:
小元遇到这样一个问题:如图$1$,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$分别为$DC$、$BC$边上的点,$\angle EAF=45^{\circ}$,连结$EF$,设$DE=a$,$EF=b$,$FB=c$,则把关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-bx+c=0$叫做正方形$ABCD$的关联方程,正方形$ABCD$叫做方程$ax^{2}-bx+c=0$的关联四边形.
探究方程$ax^{2}-bx+c=0$是否存在常数根$t$.
小元是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是把$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABG($如图$2)$,此时$GF$即是$DE+BF$.
请回答:$t=\_\_\_\_\_\_.$
参考小元得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
$(1)$如图$1$,若$AD=10$,$DE=4$,则正方形$ABCD$的关联方程为______；
$(2)$正方形$ABCD$的关联方程是$2x^{2}-bx+3=0$,则正方形$ABCD$的面积$=\_\_\_\_\_\_.$