综合与实践
问题情境:如图$1$,矩形$MNKL$是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段$AB$组成的封闭图形,点$A$,$B$在矩形的边$MN$上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图$2$,$AB=6$米,$AB$的垂直平分线与抛物线交于点$P$,与$AB$交于点$O$,点$P$是抛物线的顶点,且$PO=9$米.欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段$OP$上确定点$C$,使$\angle ACB=90^{\circ}$,用篱笆沿线段$AC$,$BC$分隔出$\triangle ABC$区域,种植串串红；
第二步:在线段$CP$上取点$F($不与$C$,$P$重合）,过点$F$作$AB$的平行线,交抛物线于点$D$,$E$.用篱笆沿$DE$,$CF$将线段$AC$,$BC$与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步$\triangle ABC$区域的分隔后,发现仅剩$6$米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完$6$米材料,需确定$DE$与$CF$的长.为此,欣欣在图$2$中以$AB$所在直线为$x$轴,$OP$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题:
$(1)$在图$2$中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式；
$(2)$求$6$米材料恰好用完时$DE$与$CF$的长；
$(3)$种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图$2$设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段$AC$,$BC$上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.