如图,点$A$,$B$,$C$三点在一直线上,在$BC$同侧作$\triangle BCD$、$\triangle BCE$,若$BE$,$CE$分别平分$\angle ABD$,$\angle BCD$,过点$B$作$\angle CBD$的平分线交$CE$于点$F$.
$(1)$若$BE$∥$CD$,求证:$BE=BC$；
$(2)$已知$\angle E=32^{\circ}$,求$\angle D$的度数；
$(3)$若$BE$∥$CD$,$BD=4$,$BF=3$,求线段$CD$的长.