已知在$\triangle ABC$中,$OA=OB=OC$,$OA\bot BC$,垂足为$O$.

$(1)$如图$1$,求证:$AB=\sqrt{2}OB$.
$(2)$如图$2$,点$D$在线段$AB$上,连接$CD$,$M$是$CD$中点,过点$M$作$CD$的垂线交$AO$的延长线于$N$,求$\frac{MN}{CD}$的值.
$(3)$如图$\left(3\right)$,在（2）的条件下,点$E$在$AC$上,连接$BE$,$2\angle CBE=\angle ACD$,过点$O$作$OP$∥$MN$交$AC$于$P$,$AE=16$,$AD=18$,求$OP$的长.