【问题提出】
$(1)$如图$1$,在四边形$ABCD$中,连接$AC$,$BD$,若$AB=AC=AD$,$\angle BAC=50^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数为______$^{\circ};($提示:以点$A$为圆心,$AB$为半径作$\odot A)$
【问题解决】
$(2)$如图$2$,在矩形$ABCD$中,已知$AB=3$,$BC=4$,点$P$是$BC$边上一动点（点$P$不与$B$,$C$重合）,连接$AP$,作点$B$关于直线$AP$的对称点$M$,连接$MC$,求线段$MC$的最小值；
【实践应用】
$(3)$如图$3$,有一块形状为等腰直角三角形的空地$ACD$,$\angle CAD=90^{\circ}$,在空地旁边有一条与$CD$边平行的小路$a$,小路$a$经过点$A$,现计划在小路$a$上找一点$B$,在$DA$的延长线上找一点$P$,沿着$BC$,$BP$修两条水渠,同时保证$\angle CBP=90^{\circ}$,当$BP=50\sqrt{2}$米,$AD=80$米时,求两条水渠的交汇点$B$到$A$的距离.