$(1)$【学习心得】
小宸同学在学习完"圆"这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.
例如:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC=AD$,求$\angle BDC$的度数,若以点$A$为圆心,$AB$为半径作辅助圆$\odot A$,则点$C$、$D$必在$\odot A$上,$\angle BAC$是$\odot A$的圆心角,而$\angle BDC$是圆周角,从而可容易得到$\angle BDC=\_\_\_\_\_\_^{\circ}.$
$(2)$【问题解决】
如图$2$,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$,$\angle BAC=26^{\circ}$,求$\angle BDC$的度数.小宸同学认为用添加辅助圆的方法,可以使问题快速解决,他是这样思考的:$\triangle ABD$的外接圆就是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$长为半径的圆；$\triangle BCD$的外接圆也是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$长为半径的圆.这样$A$、$B$、$C$、$D$四点在同一个圆上,进而可以利用圆周角的性质求出$\angle BDC$的度数,请运用小底的思路解决这个问题.
$(3)$【问题拓展】
①如图$3$,$\triangle ABC$的三条高$AD$、$BE$、$CF$相交于点$H$,求证:$\angle EFC=\angle DFC$.
②如图$4$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=45^{\circ}$,$AD$是$BC$边上的高,且$BD=3$,$CD=1$,直接写出$AD$的长.