在平面直角坐标系$xOy$中,对于点$P$和多边形$G$,给出如下的定义:如果点$P$到多边形$G$每一边所在直线的距离均不小于多边形$G$最短边长度的$\frac{1}{4}$,则称$P$为多边形$G$的"长聚点".
已知点$O\left(0,0\right)$,$A\left(4,0\right)$,$B\left(4,4\right)$,$C\left(0,4\right)$.
$(1)$在点$P_1(\frac{1}{2},3)$,$P_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$,$P_{3}(6,4)$,$P_{4}(7,6)$中,______是正方形$OABC$的"长聚点"；
$(2)$已知点$D\left(3,1\right)$,点$P\left(a,b\right)$是正方形$OABC$在第一象限中的"长聚点",且$PC=PD$,结合图形,求$a$的最小值；
$(3)$将点$O$、$A$、$B$、$C$分别向右平移$t\left(t \gt 0\right)$个单位,得到点$O_{1}$、$A_{1}$、$B_{1}$,$C_{1}$,已知点$E\left(2t,2t\right)$,$F\left(2t+2,2t\right)$,$G\left(2t,2t+2\right)$.若对$\triangle EFG$内（不含边界）的每一点$Q$,都有正方形$O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$的"长聚点"$P_{1}$,将点$P_{1}$关于直线$A_{1}B_{1}$的对称点记作$P_{2}$,满足点$Q$和$P_{2}$关于直线$B_{1}C_{1}$对称,直接写出$t$的取值范围.