化简（$\frac{x}{{x+1}}+\frac{x}{{x-1}})\cdot \frac{{{x^2}-1}}{x}$.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:

$(1)$甲同学解法的依据是______$,$乙同学解法的依据是______$;(填序号)$
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
$(2)$请选择一种解法,写出完整的解答过程.