已知抛物线$y=x^{2}+mx+3$的对称轴为直线$x=-2$.
$(1)$求$m$的值；
$(2)$如果将此抛物线向右平移$n$个单位后,新的抛物线经过点$\left(6,8\right)$,求新抛物线与$y$轴的交点坐标.