小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若$x_{0}$是关于$x$的一元一次方程$ax+b=0$的解，$y_{0}$是关于$y$的方程的所有解的其中一个解，且$x_{0}$，$y_{0}$满足$x_{0}+y_{0}=100$，则称关于$y$的方程为关于$x$的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程$3x-2x-99=0$的解是$x=99$，方程$y^{2}+1=2$的所有解是$y=1$或$y=-1$，当$y_{0}=1$时，$x_{0}+y_{0}=100$，所以$y^{2}+1=2$为一元一次方程$3x-2x-99=0$的“友好方程”．
$(1)$已知关于$y$的方程：①$2y-2=4$，②$|y|=2$，哪个方程是一元一次方程$3x-2x-102=0$的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ______.
$(2)$若关于$y$的方程$|2y-2|+3=5$是关于$x$的一元一次方程$x-\dfrac{2x-2a}{3}=a+1$的“友好方程”，请求出$a$的值．