航天创造美好生活，每年$4$月$24$日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若$x_{0}$是关于$x$的一元一次方程的解，$y_{0}$是关于$y$的方程的一个解，且$x_{0}$，$y_{0}$满足$x_{0}+y_{0}=424$，则关于$y$的方程是关于$x$的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程$4x=5x-400$的解是$x=400$，方程$|y|=24$的解是$y=24$或$y=-24$，当$y=24$时，满足$x_{0}+y_{0}=400+24=424$，所以关于$y$的方程$|y|=24$是关于$x$的一元一次方程$4x=5x-400$的“航天方程”．
$(1)$试判断关于$y$的方程$|y-1|=20$是否是关于$x$的一元一次方程$x+403=2x$的“航天方程”？并说明理由；
$(2)$若关于$y$的方程$|y-1|-3=13$是关于$x$的一元一次方程$x-\dfrac{2x-2a}{3}=2a+1$的“航天方程”，求$a$的值．