在同一平面内,我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为$a_{1}$,三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为$a_{2}$,四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为$a_{3}$,$\ldots$,$\left(n+1\right)$条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为$a_{n}$,若$\frac{1}{{a_1}-1}+\frac{1}{{a_2}-1}+\ldots +\frac{1}{{a_n}-1}=\frac{10}{11}$,则$n=\left(\ \ \right)$