在平面直角坐标系中,$A\left(a,0\right)$,$B\left(0,b\right)$,且点$A$、$B$坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}3a+b=3\\ 2a-b=7\end{array}\right.$.
$(1)$求$A$、$B$的坐标；
$(2)$如图$1$,以$AB$为边在第四象限作等腰$Rt\triangle ABP$,直接写出$P$点坐标；
$(3)$如图$2$,若$C$,$D$在$y$轴$B$,$O$上方,且$OD=BC=1$,过$O$作$OH\bot AD$于$H$,直线$OH$交$AC$于$F$,直线$FB$交$AD$于$E$,试探究线段$AE$、$FO$、$EF$三条线段有何数量关系?并证明你的结论.