如图,已知二次函数$y=ax^{2}+2x+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,$A$点坐标为$\left(-1,0\right)$,与$y$轴交于点$C\left(0,3\right)$.在直线$BC$上方的抛物线上存在点$Q$,使得$\angle QCB=2\angle ABC$,求点$Q$的坐标.