在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=ax^{2}+bx-1(a$、$b$为常数,$a \gt 0).\left(1\right)$若抛物线与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$、$B\left(4,0\right)$两点,求抛物线对应的函数表达式；
$(2)$如图,当$b=1$时,过点$C\left(-1,a\right)$、$D(1,a+2\sqrt{2})$分别作$y$轴的平行线,交抛物线于点$M$、$N$,连接$MN$、$MD$.求证:$MD$平分$\angle CMN$；
$(3)$当$a=1$,$b\leqslant -2$时,过直线$y=x-1\left(1\leqslant x\leqslant 3\right)$上一点$G$作$y$轴的平行线,交抛物线于点$H$.若$GH$的最大值为$4$,求$b$的值.