在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C\left(0,2\right)$,且顶点$P$的坐标为$\left(-1,3\right)$.
$(1)$求二次函数的解析式；
$(2)$如图$1$,点$D(-\frac{5}{2},\frac{3}{4})$,若点$M$是二次函数图象上的点,且在直线$CD$的上方,连接$MC$,$MD$.求$\triangle MCD$面积的最大值及此时点$M$的横坐标；
$(3)$如图$2$,设点$Q$是抛物线对称轴上的一点,且在点$C$的下方,连接$QC$,将线段$QC$绕点$Q$逆时针旋转$90^{\circ}$,点$C$的对应点为$F$,直线$PF$交抛物线于点$E($点$E$与点$P$不重合）,判断此时能否求出点$E$的坐标,如能,求出点$E$的坐标,不能,说明理由.