如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$y=x+2$相交于$A\left(-2,0\right)$,$B\left(3,m\right)$两点,与$x$轴相交于另一点$C$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$点$P$是直线$AB$上方抛物线上的一个动点（不与$A$、$B$重合）,过点$P$作直线$PD\bot x$轴于点$D$,交直线$AB$于点$E$,当$PE=2ED$时,求$P$点坐标；
$(3)$抛物线上是否存在点$M$使$\triangle ABM$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半?若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.