如图,在等腰直角$\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=BC$,$AC=16$,点$D$从点$A$出发以每秒$2$个单位长度的速度向终点$C$运动,过点$D$作$DE\bot AC$交折线$AB-BC$于点$E$,以$DE$为边向右作长方形$DEGF$,使$DF=2DE$,设点$D$的运动时间为$t$秒$\left(0 \lt t \lt 8\right)$.
$(1)$用含$t$的代数式表示线段$DE$的长；
$(2)$当点$G$落在$BC$边上时,求$t$的值；
$(3)$求长方形$DEGF$与$\triangle ABC$重叠部分图形的面积$S$与$t$之间的关系式；
$(4)$点$M$为$AC$的中点,连接$MG$,当$MG$所在的直线垂直$\triangle ABC$的一边时,直接写出$t$的值.