如图,$AB$为$\odot O$的直径,弦$CD$交$AB$于点$E$,连接$BD$,且$BD=BE$,连接$AC$、$BC$.

$(1)$如图$1$,求证:$\angle ABD=2\angle ABC$；
$(2)$如图$2$,过点$A$作$AF\bot CE$于$F$,求证:$DE=2CF$；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,点$H$在弧$AD$上,连接$CH$,使$\angle HCD=2\angle DCB$,连接$HD$、$HB$,过$D$作$DK\bot AB$交$BH$于点$G$,交$BC$于点$K$,$HD:DG=13:5$,若$S_{\triangle BDE}=15\sqrt{10}$,求$BG$的长.