【探索发现】在一次折纸活动中,小亮同学选用了矩形纸张,即如图①所示的矩形$ABCD$.他先（通过对折）找到$AB$边的中点$E$,再将$\triangle AED$沿着直线$DE$翻折得到$\triangle {A\’}ED$,连接${A\’}B$,小亮猜想${A\’}B$∥$DE.$
【问题解决】小亮对上面${A\’}B$∥$DE$的猜想进行了证明,下面是部分证明过程:
证明:$\because$点$E$为$AB$边的中点,
$\therefore AE=EB$,
$\because$翻折,
$\therefore AE={A\’}E$,
$\therefore {A\’}E=BE$,
$\therefore \angle EA\’B=\angle EBA\’$.
请你补全余下的证明过程.
【结论应用】
$(1)$如图①,在【探索发现的基础上,若${A\’}B:DE=3:5$,$\triangle {A\’}EB$的面积为$6$,则矩形$ABCD$的面积为______；
$(2)$图②,在【探索发现】的基础上,点${A\’}$作${A\’}F$∥$AB$交线段$DE$于点$F$.若${A\’}F=\sqrt{3}$,$DF=1$,则矩形$ABCD$的周长为______.
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