配方法是数学中重要的一种思想方法,这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形,并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定:一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}(a$,$b$是整数）的形式,则称这个数为"完美数".例如,$10$是"完美数",理由:因为$10=3^{2}+1^{2}$,所以$10$是"完美数".
解决问题:
$(1)$下列各数中,"完美数"有______$(填序号)$.
①$29$；②$48$；③$13$；④$28$.
探究问题:
$(2)$若$a^{2}-4a+8$可配方成$\left(a-m\right)^{2}+n^{2}(m$,$n$为常数）,则$mn$的值为______；
$(3)$已知$S=a^{2}+4ab+5b^{2}-8b+k(a$,$b$是整数,$k$是常数）,要使$S$为"完美数",试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由.
拓展应用:
$(4)$已知实数$a$,$b$满足$-a^{2}+5a+b-3=0$,求$a+b$的最小值.